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很多人认为命题的否定就是否定命题的结论,所以“若p则q”的否定就是“若p则¬q ”,其实这种理解是错误的。如果按照这种理解,上述命题的否定就是“若(x-1)(x+2)=0,则x≠1”,这个结果显然是错误的,因为这个命题与原命题都是假命题。 我们来看看教材中“命题的否定”的定义: 人教A版:对一个命题p全盘否定,就得到一个新的命题,记作¬p,读作“非p”或“p的否定”。 人教B版:对命题p加以否定,就得到一个新的命题,记作¬p,读作“非p”或“p 的否定”。 根据上述定义及符号语言可以看出,命题的否定是对整个命题的否定,而非只对其结论进行否定。因此这个命题的否定就应该是“并非对(x∈R,若(x-1)(x+2)=0,则x =1”,也即“存在x∈R,使(x-1)(x+2)=0,且x≠1”。 此外,在概念复习中还要避免模式化,避免机械套用有关结论。
比如点到直线距离公式的教学,包括教科书在内基本上都舍弃了解析法,即“求出过点P与直线l垂直的直线PQ的方程,然后求出点Q的坐标,最后利用两点间距离公式求出PQ的长”的方法,普遍认为上述方法虽然思路自然,但具体运算需要一定技巧。 其实利用上述方法,运算量并不是大到不可接受,如果方法得当,学生一定对解析法印象深刻,并会在有关问题中应用解析法解决问题。这也正体现了解析几何的本质,即利用代数方法(方程、坐标)解决几何(曲线)的有关问题。
设问1:如何求未知数ω的值?(设法得到关于ω的方程) 设问2:两个未知数需要两个方程才可能求出它们的值,而此题我们只能得到一个方程,怎么办? 设问3:注意到ω是正整数,因而通过范围就可以求出其值,那么如何能得到关于ω 的不等式呢? 通过以上设问,应该容易想到通过函数的图像可以得到关于周期的不等式,从而得到关于ω的不等式,问题得以解决。
有人会觉得此题有超纲的嫌疑(因为有二阶导数的影子),但其实恰恰这是一道“好题”,因为它充分体现了导数的工具作用,第(2)小题的3种解法中,无论哪种方法都是利用导数作工具,充分研究了函数的性质,特别是单调性,并利用函数的这些性质解决问题。
这个题目虽然难度不大,但是立意新颖,富有创新精神,特别是巧妙地利用我国优秀的传统文化设计试题,不仅使学生对我国的传统文化有所了解,同时也考查了学生的各种能力,如阅读能力、思维能力、运算能力、数据处理能力等,很好地渗透了数学的核心素养。
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